LABORATOIRE DE MATHEMATIQUES FONDAMENTALES ET APPLIQUEES D?ORAN

   Description succincte :
Le laboratoire est structuré en quatre (04) équipes de recherche à très forte interaction :
- Equipe d?Analyse des Opérateurs, Résonance et Théorie de Fredholm.
- Analyse Spectrale des Equations aux Dérivées Partielles.
- Contrôle des Equations aux Dérivées Partielles et Optimisation.
- Problèmes aux Limites non Linéaires.
Les équipes sont constituées chacune d?enseignants chercheurs confirmés et de thésards en doctorat classique
ou/et LMD. Vingt et un chercheurs sont rattachés au laboratoire dont un (01) Professeurs, neuf (09) Maitres de
Conférences (dont quatre non habilités), et onze (11) doctorants dont six (06) Maitres assistants.
Le laboratoire développe des recherches dans divers axes et domaines des mathématiques
fondamentales et appliquées : théorie des opérateurs, théorie spectrale, équations aux dérivées partielles,
équations différentielles ordinaires et abstraites, opérateurs quotients, spectres essentiels et théorie de
Fredholm, Analyse microlocale, théorie des résonances, analyse et problèmes aux limites non linéaires, le
contrôle des EDP et l?optimisation avec des applications concrètes aux problèmes de contrôle optimal et ceux
de la physique mathématique.
Pour plus de détails, étant donné d?une manière générale un opérateur non borné sur un espace de Hilbert, on
définit en plus de la liste des différents spectres essentiels connus dans la littérature mathématique, le spectre
essentiel semi-régulier et le spectre essentiel généralisé de Kato,.... Nous nous intéressons aux aspects
topologiques et qualitatifs de ces nouveaux spectres, nous les comparons avec les autres spectres essentiels.
Nous quantifions cette comparaison à travers la différence symétrique ensembliste.
Une des questions centrales est l'invariance des différents spectres essentiels sous des perturbations (additives).
D?autres questions pertinentes et assez intéressantes consistent à traiter le cas matriciel et tester le « Spectral
Mapping Theorem » sur cette collection de spectres essentiels, il s?agit aussi d?examiner ces spectres pour la
somme et le produit d?opérateurs.
Concernant ce dernier point, on sait que les opérateurs d'évolutions linéaires (Problèmes de Cauchy abstraits)
définis sur un espace produit font intervenir des éléments matriciels décomposables en sommes et produits
d'opérateurs fermés, ils sont en général ni fermés ni fermables. Cette instabilité du caractère de fermabilité
constitue un grand handicap dans plusieurs problèmes d?analyse spectrale et d?EDP. Pour cela, on introduit
alors une nouvelle classe d'opérateurs linéaires, appelés opérateurs quotients des opérateurs bornés. Les
opérateurs quotients sont des opérateurs non bornés lesquels on impose une condition topologique inspirée sur
le concept du graphe d'un opérateur linéaire. On montre en particulier que cette classe est notamment stable par
rapport aux opérations usuelles: somme finie et infinie, produit et passage à la limite. Nous envisageons
essentiellement d?étudier le caractère des opérateurs quotients tels que : fermeture et fermabilité, adjoint,
symétrie, essentiellement auto-adjoint, auto-adjoint, différents caractères de normalité, de Fredholm,
inversibilité, spectre et résolvante ainsi que le calcul fonctionnel, etc. Il parait aussi très intéressant d?entamer la
question du quotient des opérateurs non bornés en retrouvant essentiellement la caractérisation topologique de
cette nouvelle classe d?opérateurs en étudiant les extensions opératorielles.
D?autre part, les outils essentiels pour introduire la théorie des résonances sont la théorie de Fredholm à travers
le spectre essentiel, l?analyse microlocale (opérateurs pseudo-différentiels et Fourier intégraux) et l?expression
des Hamiltoniens en forme normale de Birkhoff.